来源头条作者:教育心话

大家好！今天和大家分享一道美国初中数学竞赛题：解方程组。题目是一个三元方程组，而且还含有根号，但是不少国内初中生看过题目后都表示这就是一道送分题，甚至很多中考题都比这道题要难。那么我们一起来看一下这道美国的竞赛题。

看到第2个方程，不少人第一时间都想到了一个方法：设这个比例的值为k，这是国内初中数学常用的一种处理方法。这样设出来后，可以得到x=3k，y=4k，z=5k，然后代入第一个方程就得到一个关于k的方程。这个方法实际上也是一种换元法。

换元代入并整理可得到：24k-5√(12k+5)=2这样一个更简单的方程。因为含有根号，所以可以将含有根号的移到等号的一边，没有根号的移到另一边，再两边平方即可去掉根号，从而得到一个关于k的一元二次方程。这也是一个常规处理方法，难度并不大。

得到的这个一元二次方程的系数比较大，如果用求根公式的话计算量太大，容易出错，所以先考虑用因式分解的方法求解。

因式分解时，数字较大，不太好计算。观察数字特点，容易发现常数项的分解方式最少，在整数范围内只有1×121和11×11两种，所以考虑从常数项入手。最终可以分解为(48k+11)(12k-11)=0，从而求出k的值。

求出k的值后能够非常容易得到x、y、z的值。但是k是两个值，那么需要验证两个值是否都满足题意。经过验证，k为负数时明显不满足题意，所以k=11/12。

上面的方法是一个非常容易想到的方法，但是计算量比较大，而且对得到的k的值还需要讨论，过程稍显复杂。下面来看另外一种换元法，过程就要简单多了。

设√(x+y+z+5)=t，很明显t≥0了，并且可以得到x+y+z=t²-5，再代入第一个方程并整理可以得到2t²-5t-12=0。这个方程明显比解法1中的方程更简单了。

解出这个关于t的方程后，舍去负数的值，这样就可以得到x+y+z=11，然后再用第二个方程换元，非常容易就可以得到x、y、z的值。

这道美国竞赛题的难度确实不大，用平时最常用的方法就能解出来，所以不少国内学生表示还没有某些中考题难。你觉得呢？